y%3D0.jpeg "(d^4-2d^3+2d^2-2d+1)y=0")
Persamaan Diferensial Linear Homogen: (d^4-2d^3+2d^2-2d+1)y=0
Pengantar
Persamaan diferensial linear homogen adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk umum:
$a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_1y' + a_0y = 0$
Dimana $a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ adalah konstanta dan $y^{(n)}, y^{(n-1)}, ..., y'$ adalah turunan-turunan dari fungsi $y$.
Pada artikel ini, kita akan membahas tentang persamaan diferensial linear homogen berikut:
$(d^4-2d^3+2d^2-2d+1)y=0$
Metode Penyelesaian
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial di atas, kita dapat menggunakan metode substitusi. Pertama, kita dapat menulis persamaan diferensial dalam bentuk:
$y'''' - 2y''' + 2y'' - 2y' + y = 0$
Kemudian, kita dapat membuat substitusi $y = e^{mx}$ dan turunannya:
$y' = m e^{mx}$ $y'' = m^2 e^{mx}$ $y''' = m^3 e^{mx}$ $y'''' = m^4 e^{mx}$
Substitusikan nilai-nilai turunan ke dalam persamaan diferensial:
$m^4 e^{mx} - 2m^3 e^{mx} + 2m^2 e^{mx} - 2m e^{mx} + e^{mx} = 0$
Kemudian, kita dapat membagi kedua sisi dengan $e^{mx}$:
$m^4 - 2m^3 + 2m^2 - 2m + 1 = 0$
Persamaan di atas adalah persamaan algebraik yang dapat dipecahkan dengan menggunakan metode faktorisasi atau metode lainnya.
Solusi
Dengan menguraikan persamaan algebraik di atas, kita dapat menemukan nilai-nilai $m$ yang memenuhi persamaan. Salah satu cara untuk melakukan ini adalah dengan menggunakan faktorisasi:
$m^4 - 2m^3 + 2m^2 - 2m + 1 = (m-1)^4 = 0$
Dengan demikian, kita dapat menemukan nilai $m = 1$ sebagai akar dari persamaan.
Kemudian, kita dapat membuat penyelesaian umum dari persamaan diferensial:
$y = c_1 e^x + c_2 x e^x + c_3 x^2 e^x + c_4 x^3 e^x$
Dimana $c_1, c_2, c_3, c_4$ adalah konstanta arbitrer.
Kesimpulan
Pada artikel ini, kita telah membahas tentang persamaan diferensial linear homogen $(d^4-2d^3+2d^2-2d+1)y=0$. Kita menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan persamaan diferensial dan menemukan nilai-nilai $m$ yang memenuhi persamaan. Kemudian, kita dapat membuat penyelesaian umum dari persamaan diferensial.
